Milieux aléatoires et passage micro-macro

Résumé
Un encadrement des propriétés physiques de composites modélisés par des milieux aléatoires (permittivité diélectrique, conductivité thermique ou propriétés élastiques) est usuellement obtenu en combinant un principe variationnel et des informations statistiques résumant la morphologie du milieu aléatoire. Des bornes d'ordre trois, impliquant les fonctions de corrélation à trois points d'appui, ont été obtenues dans le cas général par M. Beran, puis pour des milieux biphasés par M. Miller, et G. Milton, entre autres. Dans ce dernier cas, des résultats sont disponibles pour quelques types d'ensembles aléatoires biphasés que nous rappellons. Pour des matériaux présentant une gamme continue de propriétés locales (polycristaux, matériaux à gradient de propriétés, microstructures ségrégées), modélisables par des fonctions aléatoires au lieu d'ensembles aléatoires, peu de résultats sont disponibles dans la littérature. Cependant, ce type de microstructure est rencontré dans de nombreux cas, le plus simple étant le cas de composites biphasés présentant une interface ayant des propriétés physiques différentes (3ème phase). Nous présentons le calcul de bornes d'ordre trois pour plusieurs types de modèles de fonctions aléatoires correspondant à différents arrangements micro-géométriques.